連分数 - 跳慮跋考

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}$
みたいなのを連分数と呼ぶ。これだとスペースを取るので
$1 + \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+ \cdots}}$
とか(低い位置の+は直前の分数の分母にそれ以降を足す感じ)、分子が皆1の時は+の左の数字を並べて $[1; 1, 1, \ldots]$ とも書く。
値を求めるには、これを $x$ と置くと
$x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}} = 1 + \frac{1}{x}$
より $x^2 - x - 1 = 0$ となるから
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x$ は普通に考えて正なので、 $\pm$ の正を取るとこの値は黄金比 $\phi$ である。従って
$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}$
が成り立つ。

実数の連分数展開

ある実数を整数部と小数部に分けられれば、それを連分数に展開できる。
例えば円周率 $\pi = 3.1415926535\ldots$ は
$\pi = 3 + \frac{1}{\frac{1}{0.14159\ldots}} = 3 + \frac{1}{7.0625\ldots} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{\frac{1}{0.0625\ldots}}} = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15.997\ldots}}$
という感じで $\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, \ldots]$ になる(WolframAlphaで計算)。
ここで $1/15.997\ldots \approx 0$ と近似すると、
$\pi \approx 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$
という有名な近似分数が現れる。

円周率は二進法なら11.0010010...だし十六進法なら3.243f6a88...だが、連分数展開により現れる数列は円周率の値のみで定まる。
それ故、連分数展開はより数の自然な表現を与えるとも言えよう。

一次分数変換

ところで、定数 $a,b,c,d \ (ad-bc \ne 0)$ について
$f(x) = \frac{ ax+b }{ cx+d }$
なる函数を一次分数変換とかメビウス(Möbius)変換とか呼ぶ。 $ad-bc=0$ では $f(x) = 1$ に「潰れる」ので除いておく。
一次分数変換 $f(x) = \frac{ ax+b }{ cx+d }$ 及び $g(x) = \frac{ a'x+b' }{ c'x+d' }$ を合成してみると
$f \circ g(x) = \frac{ a \frac{ a'x+b' }{ c'x+d' } + b }{ c \frac{ a'x+b' }{ c'x+d' } + d } = \frac{ (aa'+bc')x + (ab'+bd') }{ (ca'+dc')x + (cb'+dd') }$
となる訳だが、これは
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix}$
という行列積の要素と見事に符合している！　ので、
$f(x) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot x$
という表記を用いると一次分数変換の合成等を行列の計算で扱える。

連分数と行列

さて
$\frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{ a_2 +_{ \ddots \frac{b_N}{a_N} }}}$
を眺めると、これが一次分数変換
$f_n(x) = \begin{pmatrix} 0 & b_n \\ 1 & a_n \end{pmatrix} \cdot x = \frac{b_n}{x + a_n}$
により
$f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \cdots f_N(0) = \begin{pmatrix} 0 & b_1 \\ 1 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & b_2 \\ 1 & a_2 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 0 & b_N \\ 1 & a_N \end{pmatrix} \cdot 0$
と表せる事に気付く。
すると、例えば $[1;1,1,1,\ldots]$ の場合、 $(\phi, \psi) = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} , \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)$ と置いて
$-\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \psi & -1 \\ -\phi & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \psi \end{pmatrix}$ （'13/03/06 係数の誤りを訂正）
と対角化する事で
${\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^n = -\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi^n & 0 \\ 0 & \psi^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi & -1 \\ -\phi & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \psi \phi^n - \phi \psi^n & -\phi^n + \psi^n \\ \psi \phi^{n+1} - \phi \psi^{n+1} & -\phi^{n+1} + \psi^{n+1} \end{pmatrix}$
より
${\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^n \cdot 0 = \frac{ -\phi^n + \psi^n }{ -\phi^{n+1} + \psi^{n+1} }$
を得る。 $|\psi / \phi| < 1$ より
$\lim_{n \to +\infty} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^n \cdot 0 = \frac{1}{\phi}$
なので、再び
$[1; 1, 1, \ldots] = 1 + \frac{1}{\phi} = \phi$
を得る。

級数の連分数展開

級数を無理やり連分数に展開して
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = a_0 \left( 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{a_0} \right) = \frac{a_0}{ 0 + \frac{1}{1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{a_0}} } = \frac{a_0}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{a_0}$
と出来るから、
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \frac{a_0}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_1/a_0}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_2/a_1}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+\cdots}}$
又は「約分」して
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \frac{a_0}{0} {\ \atop+} \frac{a_0}{a_0} {\ \atop+} \frac{a_1}{0} {\ \atop+} \frac{a_1}{a_1} {\ \atop+} \frac{a_2}{0} {\ \atop+} \frac{a_2}{a_2} {\ \atop{+\cdots}}$
となる。
ここで
$\frac{a}{b} {\ \atop+} \frac{c}{0} {\ \atop+} F = \frac{a}{b} {\ \atop+} \frac{c}{F} = \frac{aF}{bF} {\ \atop+} \frac{cF}{F} = \frac{aF}{bF+c} = \frac{aF+\frac{a}{b}c-\frac{a}{b}c}{bF+c} = \frac{a}{b} - \frac{\frac{a}{b} c}{c} {\ \atop+} bF$
より分母位置の0を消去できる。即ち
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \frac{a_0}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_1/a_0}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_2/a_1}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+\cdots}}$
$= \frac{a_0}{0} {\ \atop+} \left( 1 - \frac{a_1/a_0}{a_1/a_0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_2/a_1}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+\cdots}} \right)$
$= \frac{a_0}{1} {\ \atop-} \frac{a_1/a_0}{a_1/a_0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_2/a_1}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_3/a_2}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+\cdots}}$
$= \frac{a_0}{1} {\ \atop-} \frac{a_1/a_0}{a_1/a_0 + 1} {\ \atop-} \frac{a_2/a_1}{a_2/a_1} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop+} \frac{a_3/a_2}{0} {\ \atop+} \frac{1}{1} {\ \atop{+\cdots}}$
$= \frac{a_0}{1} {\ \atop-} \frac{a_1/a_0}{a_1/a_0 + 1} {\ \atop-} \frac{a_2/a_1}{a_2/a_1 + 1} {\ \atop-} \frac{a_3/a_2}{a_3/a_2 + 1} {\ \atop{-\cdots}}$
例えば $a_n = x^n / n!$ とすると、
$e^x = \frac{1}{1} {\ \atop-} \frac{x}{x + 1} {\ \atop-} \frac{x/2}{x/2 + 1} {\ \atop-} \frac{x/3}{x/3 + 1} {\ \atop{-\cdots}} = \frac{1}{1} {\ \atop-} \frac{x}{x + 1} {\ \atop-} \frac{x}{x + 2} {\ \atop-} \frac{2x}{x + 3} {\ \atop{-\cdots}}$
という指数函数の連分数展開が得られる。

こうした展開例については数学研究ノートの連分数の項に詳しい。（'17/08/04 移転していたのでリンク修正）