跳慮跋考

興味も思考も行先不明

二重階乗の一般化

数学

その昔、Eulerは階乗 n!の一般化として積分 \int_{0}^{1} \left( \log \frac{1}{y} \right)^n dy = n! を見出し、後にGaußが \Pi(n) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^n dx = n! と書き直した訳ですが、では二重階乗 n!!なんかはどうなるのという話。
因みに現代では \Gamma(n) = \Pi(n-1) = (n-1)! というややこしい定義のガンマ函数が罷り通っていますが、ここでは使いません。その方が綺麗なので。

さて取り敢えず n=2mの場合を考えてみる。
(2m)!! = 2m \cdot (2m-2) \cdot (2m-4) \cdots 4 \cdot 2
= 2^m (m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdots 2 \cdot 1)
= 2^m m!
なので、nが偶数の場合 n!! = 2^{\frac{n}{2}} \Pi\left(\frac{n}{2}\right) (甲)が成り立つ。
この右辺は奇数の場合にも使えないだろうか？　という訳で n=2m+1としてみる。
\Pi\left(\frac{2m+1}{2}\right) = \frac{2m+1}{2} \cdot \frac{2m-1}{2} \ \cdots \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \Pi\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{ (2m+1)!! }{ 2^m } \Pi\left(\frac{1}{2}\right)
ここで \Pi\left(\frac{1}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{ \sqrt{\pi} }{2} となるのはガンマ函数界では有名な話なので、nが奇数の場合 n!! = \frac{1}{\sqrt{\pi}} 2^{\frac{n+1}{2}} \Pi\left(\frac{n}{2}\right) (乙)が成り立つ。

さて甲乙2式を比べると、奇数の場合のみ因子 \sqrt{ \frac{2}{\pi} } が掛かっているので、 f(2m) = 0, f(2m+1) = 1 \qquad (m \in {\mathbb Z}) を満たす解析函数fが欲しい。
実軸上で実数値函数とすれば、三角函数が正にそれである。 f(x) = \frac{ 1 - \cos(\pi x) }{2} = \sin^2 \frac{\pi x}{2} とすれば \left( \frac{2}{\pi} \right)^{ \frac{f(n)}{2} } でこの因子が記述できる。

以上より

となり、右辺は負の偶数を除く実数全体で定義される。

Maximaでチェック＆プロット。

(%i1) f(n):=(2^n*(2/%pi)^(sin(%pi*n/2))^2)^(1/2)*gamma(n/2+1);
(%i2) makelist(f(n), n, 10);
(%o2) [1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840]
(%i3) makelist(n!!, n, 10);
(%o3) [1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840]
(%i4) plot2d( f(x), [x, -7, 7], [y, -100, 100] );
(%i5) plot2d( log(f(x)), [x, 0, 20] );

普通に描いたのがこれ。
f:id:quinoh:20130411002510p:plain
sinの影響でうねうねしてますね。あと発散点を巧く処理できてなくて途中で切れてます。
対数はこれ。
f:id:quinoh:20130411003959p:plain

そしたら三重階乗とかも考えたいところですが、同じ様に \Pi\left(\frac{n}{3}\right) を使うと
(3m-2)!!! = 3^m \Pi\left( \frac{3m-2}{3} \right) / \Pi\left(-\frac{2}{3}\right)
(3m-1)!!! = 3^m \Pi\left( \frac{3m-1}{3} \right) / \Pi\left(-\frac{1}{3}\right)
(3m-0)!!! = 3^m \Pi\left( \frac{3m-0}{3} \right) / \Pi(0)
となるので、これを自然に書くのは無理があると思いますねぇ。