2013-02-22

和の比と比の和の不等式

数学

$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{a_i} > \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{ \sum_{i=1}^{n} a_i } \quad (n \ge 2,\, a_i, x_i > 0)$
を数学的帰納法により示す。

$n=2$ の時
$\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} - \frac{ x_1 + x_2 }{ a_1 + a_2 }$
$\frac{a_2 x_1 + a_1 x_2}{a_1 a_2} - \frac{ x_1 + x_2 }{ a_1 + a_2 }$
$= \frac{ (a_1 + a_2)(a_2 x_1 + a_1 x_2) - a_1 a_2 (x_1 + x_2) }{ a_1 a_2 (a_1 + a_2) }$
$= \frac{ a_2^2 x_1 + a_1^2 x_2 }{ a_1 a_2 (a_1 + a_2) }$
$> 0$
よって成り立つ。

$n = k$ の時に成り立つとすると
$\sum_{i=1}^{k} \frac{x_i}{a_i} > \frac{ \sum_{i=1}^{k} x_i }{ \sum_{i=1}^{k} a_i }$
ここで $(x_k, a_k) \to (x_k + x_{k+1}, a_k + a_{k+1})$ と置き換えると
$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i}{a_i} + \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} } > \frac{ \sum_{i=1}^{k+1} x_i }{ \sum_{i=1}^{k+1} a_i }$
$n = 2$ の場合より
$\frac{x_k}{a_k} + \frac{ x_{k+1} }{ a_{k+1} } > \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} }$
であるから
$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{x_i}{a_i} > \sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i}{a_i} + \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} } > \frac{ \sum_{i=1}^{k+1} x_i }{ \sum_{i=1}^{k+1} a_i }$
となり $n = k + 1$ でも成り立つ。

以上より任意の $n \ge 2$ について示された。 $\qed$

はてな記法の $\TeX$ を試してみようと、何かの証明に使おうとした補題を載せてみる。
はてなで使われてるmimeTeXは美しくないので、「LaTeXのオンライン数式画像生成ツールの比較」を参考に要所々々でCodecogsのを使ってみると好い感じかな？　ってゆう。

2012-11-17

形態素解析器

プログラミング自然言語解析 C#

C#から直截形態素解析器のライブラリを使いたいよぉ…ふぇぇ…って人に。
茶筌はツン過ぎて辛かっただって何ですかstring[]渡すだけなのに。

using System.Runtime.InteropServices;

class MeCab : IDisposable
{
    IntPtr ptr;

    [DllImport("libmecab.dll", CallingConvention = CallingConvention.Cdecl)]
    private extern static IntPtr mecab_new2(string arg);
    [DllImport("libmecab.dll", CallingConvention = CallingConvention.Cdecl)]
    private extern static IntPtr mecab_sparse_tostr(IntPtr m, string str);
    [DllImport("libmecab.dll", CallingConvention = CallingConvention.Cdecl)]
    private extern static void mecab_destroy(IntPtr m);

    public MeCab()
    {
        ptr = mecab_new2(@"-F%m\s%f[6]\s%f[0]\n");
    }
    public string sparse_tostr(string str_in)
    {
        return Marshal.PtrToStringAnsi(mecab_sparse_tostr(ptr, str_in));
    }
    public void Dispose()
    {
        mecab_destroy(ptr);
    }
}

class Chasen
{
    [DllImport("libchasen.dll", CallingConvention = CallingConvention.Cdecl)]
    extern static int chasen_getopt_argv([MarshalAs(UnmanagedType.LPArray, ArraySubType = UnmanagedType.LPStr, SizeParamIndex = 1)]string[] argv, IntPtr file);
    [DllImport("libchasen.dll", CallingConvention = CallingConvention.Cdecl)]
    extern static IntPtr chasen_sparse_tostr(string str_in);

    public Chasen()
    {
        string[] argv = { "", "-s", "-F", @"%m %M %H\n", null };

        if (chasen_getopt_argv(argv, IntPtr.Zero) == 1)
            throw new ArgumentException();
    }
    public string sparse_tostr(string str_in)
    {
        return Marshal.PtrToStringAnsi(chasen_sparse_tostr(str_in));
    }
}

跳慮跋考

興味も思考も行先不明

和の比と比の和の不等式

形態素解析器