和の比と比の和の不等式

$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{a_i} > \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i }{ \sum_{i=1}^{n} a_i } \quad (n \ge 2,\, a_i, x_i > 0)$
を数学的帰納法により示す。

$n=2$ の時
$\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} - \frac{ x_1 + x_2 }{ a_1 + a_2 }$
$\frac{a_2 x_1 + a_1 x_2}{a_1 a_2} - \frac{ x_1 + x_2 }{ a_1 + a_2 }$
$= \frac{ (a_1 + a_2)(a_2 x_1 + a_1 x_2) - a_1 a_2 (x_1 + x_2) }{ a_1 a_2 (a_1 + a_2) }$
$= \frac{ a_2^2 x_1 + a_1^2 x_2 }{ a_1 a_2 (a_1 + a_2) }$
$> 0$
よって成り立つ。

$n = k$ の時に成り立つとすると
$\sum_{i=1}^{k} \frac{x_i}{a_i} > \frac{ \sum_{i=1}^{k} x_i }{ \sum_{i=1}^{k} a_i }$
ここで $(x_k, a_k) \to (x_k + x_{k+1}, a_k + a_{k+1})$ と置き換えると
$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i}{a_i} + \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} } > \frac{ \sum_{i=1}^{k+1} x_i }{ \sum_{i=1}^{k+1} a_i }$
$n = 2$ の場合より
$\frac{x_k}{a_k} + \frac{ x_{k+1} }{ a_{k+1} } > \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} }$
であるから
$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{x_i}{a_i} > \sum_{i=1}^{k-1} \frac{x_i}{a_i} + \frac{ x_k + x_{k+1} }{ a_k + a_{k+1} } > \frac{ \sum_{i=1}^{k+1} x_i }{ \sum_{i=1}^{k+1} a_i }$
となり $n = k + 1$ でも成り立つ。